TRADIČNÍ LOGIKA

Základní

Součást predikátové logiky, která má úzkou souvislost s teorií tříd (množin); viz ↗množina. Pracuje s tzv. subjekt‑predikátovými výroky (S‑P výroky). Subjekt i predikát, souhrnně je nazýváme termíny, jsou z hlediska logiky třídové konstanty vyjadřující vlastnosti. S‑P výroky tedy vypovídají o vztahu mezi jistými třídami, a to čtyřmi způsoby. Dělíme je podle kvality na kladnézáporné a podle kvantity na obecnéčástečné. Vzájemnou kombinací obdržíme ony čtyři typy S‑P výroků: obecný kladný – „všechna S jsou P“ (všechny houby jsou jedlé), obecný záporný – „žádné S není P“ (žádné houby nejsou jedlé), částečný kladný – „některá S jsou P“ (některé houby jsou jedlé) a částečný záporný – „některá S nejsou P“ (některé houby nejsou jedlé).

Symbolické vyjádření S‑P výroků uvedeme v několika verzích. První z nich je v symbolice zavedené ve středověku, zvané též tradiční, druhý je v symbolice soudobé (predikátové) logiky a třetí je v symbolice teorie tříd. Ve všech případech jsou použita písmena SP, ale v poněkud odlišných významech: v prvním případě reprezentují termíny, ve druhém jednomístné predikáty (v obvyklém smyslu) a ve třetím třídy. Jsou to výroky:

obecný kladný

SaP

x[S(x)P(x)]

S ∩ P' =

obecný záporný

SeP

x[S(x) ⇒ ¬P(x)]

S ∩ P =

částečný kladný

SiP

x[S(x)P(x)]

S ∩ P ≠ ∅

částečný záporný

SoP

x[S(x) ⇒ ¬P(x)]

S ∩ P' ≠ ∅

Tradiční označení (spojky) pochází pro kladné výroky z latinského affirmo (‘tvrdím’) a pro záporné výroky z latinského nego (‘popírám’). Z obvyklé logické formulace obecných výroků a definice třídových vztahů a operací plyne bezprostřední formulace v třídové symbolice S ⊆ P pro kladný a S ⊆ P' pro záporný výrok. Symbolické zápisy uvedené v přehledu odtud získáme na základě ekvivalentní formulace „neexistuje žádné individuum takové, že je S a není P“ pro obecný kladný výrok a „neexistuje žádné individuum takové, že je S a současně P“ pro obecný záporný výrok.

Vzájemný vztah mezi obecnými výroky opačné kvality se nazývá protiva (kontrárnost). Protivné výroky SaPSeP mohou být oba nepravdivé (např. „Všichni studenti jsou pilní.“ a „Žádný student není pilný.“), pravdivý může být nejvýše jeden z nich. Odtud platné úsudky založené na vztahu protivy: je‑li jeden z obecných výroků pravdivý, je protivný výrok nepravdivý – formálně:

SaP .·. ¬SeP

a

SeP .·. ¬SaP

Oboustranný vztah mezi částečnými výroky se nazývá podprotiva (subkontrárnost). Pro podprotivné výroky platí, že aspoň jeden z nich je pravdivý, případně oba (např. „Některé houby jsou jedlé.“ a „Některé houby jsou nejedlé.“). Obecně lze usuzovat pouze z nepravdivosti některého částečného výroku na pravdivost výroku podprotivného. Tj.:

¬SiP .·. SoP

a

¬SoP .·. SiP

Vztah mezi obecným a částečným výrokem téže kvality se nazývá podřízenost (subalternace). Podřízený je vždy částečný výrok obecnému výroku. Platné úsudky: z pravdivosti obecného výroku plyne pravdivost odpovídajícího částečného výroku a z nepravdivosti částečného výroku plyne nepravdivost odpovídajícího výroku obecného. Tj.:

Sap .·. SiP

a

¬SiP .·. ¬SaP

nebo

SeP .·. SoP

a

¬SoP .·. ¬SeP

Vzájemné vztahy mezi obecným a částečným výrokem opačné kvality se nazývají protiklady (kontradikce). Z protikladných výroků je vždy jeden pravdivý a jeden nepravdivý. Proto z pravdivosti jednoho výroku plyne nepravdivost výroku protikladného a z nepravdivosti některého výroku plyne pravdivost protikladného výroku. Protože tato vazba je oboustranná, máme osm forem platných úsudků:

SaP .·. ¬SoP

¬SoP .·. SaP

SoP .·. ¬SaP

¬SaP .·. SoP

a

SeP .·. ¬SiP

¬SiP .·. SeP

SiP .·. ¬SeP

¬SeP .·. SiP

K bezprostředním úsudkům patří dále tzv. obraty, tj. úsudky, které umožňují záměnu pozice subjektu a predikátu. Takovou záměnu lze zřejmě provést beze změny kvantity u obecného záporného a u částečného kladného výroku. Hovoříme pak o obratu prostém. Při obratu po případě dochází ke změně kvantity a to pro oba typy obecných výroků. Tj. prosté obraty:

SeP .·. PeS

SiP .·. PiS

a obraty po případě

SaP .·. PiS

SeP .·. PoS

Úsudky ve vlastním smyslu se v tradiční logice nazývají sylogismy. Jsou to úsudky, které mají právě dvě premisy, přičemž premisy i závěr jsou S‑P výroky. Subjekt závěru sylogismu se nazývá nižší termín a premisa, v níž se vyskytuje, se nazývá nižší premisa. Predikát závěru sylogismu se zde nazývá vyšší termín a premisa, v níž se vyskytuje, vyšší premisa. Třetí termín spojující obě premisy se nazývá střední termín. Pozice středního termínu v premisách určuje tzv. figury sylogismu. Jsou to čtyři figury tvaru:

I.

M‑P, S‑M / S‑P

II.

M‑P, S‑M / S‑P

III.

M‑P, M‑S / S‑P

IV.

P‑S, M‑S / S‑P

Doplněním spojek a, e, i, o získáváme tzv. mody sylogismu, jichž je v každé figuře 256. Platných je však podstatně méně. Platnost sylogismu lze ověřit několika způsoby. Uvedeme dva z nich – ověření pomocí pravidel správnosti a grafickou reprezentací.

Pro zavedení pravidel potřebujeme pojem roztříděný či vyčerpaný termín. Termín je vyčerpán tehdy, je‑li v S‑P výroku uvažován v celém rozsahu. To je v obecných výrocích subjekt a v záporných výrocích predikát. Tedy v obecném kladném výroku je vyčerpán subjekt. V obecném záporném výroku je vyčerpán subjekt i predikát. V částečném kladném výroku není vyčerpán žádný z termínů. V částečném záporném výroku je vyčerpán predikát.

Při ověřování sylogismu se řídíme těmito pravidly:

1.

Žádný z termínů vyskytujících se v premisách není prázdný.

2.

Aspoň jedna premisa musí být kladná. Jsou‑li kladné obě premisy, je i závěr kladný. Je‑li jedna premisa záporná, je závěr záporný.

3.

Aspoň jedna premisa musí být obecná. Je‑li jedna premisa částečná, je částečný i závěr.

4.

Střední termín musí být vyčerpán aspoň v jedné premise.

5.

Pokud termín není vyčerpán v premise, není vyčerpán ani v závěru. Je‑li termín vyčerpán v premise, v závěru nemusí být vyčerpán.

Zřejmě tedy ze dvou záporných n. ze dvou částečných premis nic neplyne. Závěr se vždy řídí slabší premisou, přičemž záporná premisa je slabší než kladná a částečná premisa je slabší než obecná. Závěr však může být i slabší, než udávají premisy podle tohoto principu. Např.:

1.

Všechny velryby jsou savci.

MaP

Někteří vodní živočichové jsou velryby.

SiM

Někteří vodní živočichové jsou savci.

SiP

Střední termín je neprázdný. Obě premisy i závěr jsou kladné výroky. Jedna premisa je obecná a jedna premisa částečná, závěr je částečný. Střední termín je vyčerpán ve vyšší premise. Nižší ani vyšší termín není vyčerpán ani v premisách ani v závěru. Sylogismus vyhovuje všem pravidlům a je tedy platný.

2.

Všichni hudebníci jsou umělci.

MaP

Žádný žák této třídy není hudebník.

SeM

Žádný žák této třídy není umělec.

SeP

Střední termín je neprázdný. Jedna premisa je kladná, jedna je záporná, závěr je záporný. Obě premisy i závěr jsou obecné výroky. Střední termín je vyčerpán v obou premisách. Nižší termín je vyčerpán v premise i v závěru. Potud sylogismus vyhovuje pravidlům. Avšak vyšší termín je vyčerpán v závěru, ve vyšší premise nikoliv. Je tedy porušeno pravidlo 5 a sylogismus je neplatný.

3.

Někteří fotbalisté nejsou inteligentní.

MoP

Všichni fotbalisté jsou sportovci.

MaS

Někteří sportovci nejsou inteligentní.

SoP

Střední termín je neprázdný. Jedna premisa je záporná, jedna je kladná, závěr je záporný. Jedna premisa je částečná, jedna je obecná, závěr je částečný. Střední termín je vyčerpán v nižší premise. Vyšší termín je vyčerpán v premise i v závěru (nižší termín není vyčerpán). Sylogismus je platný.

Tradičně platnými mody jsou v jednotlivých figurách (při neprázdném středním termínu):

I.

aaa, eae, aii, eio (barbara, celarent, darii, ferio)

II.

aoo, aee, eae, eio (baroco, camestres, cesare, festino)

III.

oao, aai, aii, iai, eao, eio (bocardo, darapti, datisi, disamis, felapton, ferison)

IV.

aai, aee, iai, eao, eio (bamalip, calemes, dimatis, fesapo, fresison).

Ověřování sylogismů lze provádět i pomocí ↗Vennových diagramů.

Rozšiřující
Literatura
  • Ashworth, E. J. Logic and Language in the Post-Medieval Period, 1974.
  • Štěpán, J. Formální logika, 1995a.
  • Štěpán, J. Logika možných světů I, 1995b.
Citace
Jan Štěpán (2017): TRADIČNÍ LOGIKA. In: Petr Karlík, Marek Nekula, Jana Pleskalová (eds.), CzechEncy - Nový encyklopedický slovník češtiny.
URL: https://www.czechency.org/slovnik/TRADIČNÍ LOGIKA (poslední přístup: 10. 8. 2020)

Další pojmy:

logika

CzechEncy – Nový encyklopedický slovník češtiny

Všechna práva vyhrazena © Masarykova univerzita, Brno 2012–2020

Provozuje Centrum zpracování přirozeného jazyka